问题
解答题
已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn+
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：数列{bn}是等比数列； （3）记cn=an•bn，求{cn}的前n项和Sn． |
答案
（1）设an的公差为d，则：a2=a1+d，a5=a1+4d，
∵a2=6，a5=18，∴
，∴a1=2，d=4．a1+d=6 a1+4d=18
∴an=2+4（n-1）=4n-2．
（2）当n=1时，b1=T1，由T1+
b1=1，得b1=1 2
．2 3
当n≥2时，∵Tn=1-
bn，Tn-1=1-1 2
bn-1，1 2
∴Tn-Tn-1=
(bn-1-bn)，即bn=1 2
(bn-1-bn)1 2
∴bn=
bn-1．1 3
bn是以
为首项，2 3
为公比的等比数列．1 3
（3）由（2）可知：bn=
•(2 3
)n-1=2•(1 3
)n．1 3
∴cn=an•bn=(4n-2)•2•(
) n=(8n-4)•(1 3
)n．1 3
Sn=c1+c2+…cn-1+cn=4×
+12×(1 3
)2+…+(8n-12)×(1 3
)n-1+(8n-4)×(1 3
)n1 3
∴．
Sn=4×(1 3
)2+12×(1 3
)3+…+(8n-12)×(1 3
)n+(8n-4)×(1 3
)n+11 3
∴Sn-
Sn=1 3
Sn=4×2 3
+8×(1 3
)2+8×(1 3
)3+…+8×(1 3
)n-(8n-4)×(1 3
)n+11 3
=
+8×4 3
-(8n-4)×((
)2•[1-(1 3
)n-1]1 3 1- 1 3
)n+11 3
=
-4×(8 3
)n-(8n-4)×(1 3
)n+11 3
∴Sn=4-4(n+1)•(
)n1 3