问题
单项选择题
设f(x)及g(x)在[a，b]上连续，则下列命题 ①若在[a，b]上，f(x)≥0，则f(x)≠0， ②若在[a，b]上，f(x)≥0，且，则在[a，b]上f(x)=0 ③若f(x)在[a，b]的任意子区间[α，β]上有，则f(x)=0() ④若在[a，b]上，f(x)≤g(x)，且，则在[a，b]上f(x)≡g(x) 中正确的是
A．(A) ①、②．
B．(B) ①、②、③．
C．(C) ①、②、④．
D．(D) ①、②、③、④．
答案
参考答案：D
解析：
[分析] ①正确．根据条件必定存在x0∈[a，b]，使得f(x0)＞0．由函数f(x)在x0连续可知，存在a≤α＜β≤b，使得当x∈[α，β]时．因此有
由定积分性质得到
故得到结论．
②正确．用反证法．如果f(x)≠0，由由①得到，与假设条件矛盾，因此②成立．
③正确．用反证法．若f(x)≠0(x∈[a，b])，则，f(x0)≠0，不妨设f(x0)＞0，由连续性，，f(x)＞0(x∈[x0-δ，x0+δ])．取[α，β]=[x0-δ，x0+δ]，则，与已知矛盾．因此，f(x)≡0(x∈[a，b])．
④正确．臣为h(x)=g(x)-f(x)≥0，且，由②可得h(x)≡0，从而结论成立．
综上分析，应选(D)．