（1）证明：∵△=[2（k+1）]²-4（k-2）

=4k²+8k+2-4k+8

=4k²+4k+10

=4（k²+k）+10

=4（k²+k+

1

4

-

1

4

）+10

=4（k+

1

2

）²-1+10

=4（k+

1

2

）²+9＞0，

∴不论k取何值时，方程总有实数根；

（2）将x=1代入x²+2（k+1）x+k-2=0得，

1+2（k+1）+k-2=0，

解得，k=-

1

3

，

则k-2=-

1

3

-2=-

7

3

；

∴x•1=-

7

3

，

解得k=-

7

3

，

故k=-

1

3

，另一个根为x=-

7

3

．