问题
解答题
| 已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且当x＞0时，有f（x）＞1成立． （Ⅰ）求f（0）的值，并证明当x＜0时，有0＜f（x）＜1成立； （Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论； （Ⅲ）若f（1）=2，数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），记Sn=
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答案
（Ⅰ）令m=0，n=1，得f（1）=f（0）f（1），
由题意得f（1）＞1，所以f（0）=1．
若x＜0，则f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，
∴f(x)=
．1 f(-x)
由已知f（-x）＞1，得0＜f（x）＜1．
（Ⅱ）任取x1，x2∈R且设x1＞x2，
由已知和（Ⅰ）得f（x）＞0（x∈R），
∴
=f(x1) f(x2)
=f(x1-x2)，（7分）∵x1-x2＞0，∴f（x1-x2）＞1，f(x1-x2+x2) f(x2)
∴f（x1）＞f（x2）．
所以函数f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）
=an an-1
=f(1)=2，f(n) f(n-1)
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an=2n．Sn=
+1 a1
++1 a2
=1 an
=1-(
[1-(1 2
)n]1 2 1- 1 2
)n．1 2
又对一切正整数n，有f(
)＞2Sn恒成立，1-m
即f(
)≥2恒成立．1-m
又f（1）=2，∴f(
)≥f(1)恒成立．1-m
又由（Ⅱ）得
≥1，1-m
解得m的取值范围是m≤0．