问题
解答题
| 如果对于函数f（x）的定义域内任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”． （1）判断函数f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”； （2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对于任意 的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤
（3）设a、m为实常数，m＞0．若f（x）=alnx是区间[m，+∞）上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明）． |
答案
证明：（1）对于任意的x1，x2∈[0，1]，
有-1≤x1+x2-1≤1，|x1+x2-1|≤1．（2分）
从而|f（x1）-f（x2）|=|（x12-x1）-（x22-x2）|=|x1-x2||x1+x2-1|≤|x1-x2|．
∴函数f（x）=x2-x，x∈[0，1]是“平缓函数”．（4分）
（2）当|x1-x2|＜
时，由已知得|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|＜1 2
；（6分）1 2
当|x1-x2|≥
时，因为x1，x2∈[0，1]，不妨设0≤x1＜x2≤1，其中x1-x2≤-1 2
，1 2
因为f（0）=f（1），所以：
|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|≤|x1-0|+|1-x2|=x1-x2+1≤-
+1=1 2
．1 2
故对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤
成立．（10分）1 2
（3）结合函数f（x）=alnx的图象性质及其在点x=m处的切线斜率，估计a的取值范围是闭区间[-m，m]．（注：只需直
接给出正确结论）（14分）