问题
解答题
| 定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足： ①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(
②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证： （1）f（0）=0； （2）f（x）在（-1，1）上是减函数； （3）f(
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答案
（1）令x=y=0，
有2f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
（2）令-1＜x1＜x2＜1，则
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f(
)，x1-x2 1-x1•x2
∵-1＜x1＜x2＜1，
∴x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，
∴-1＜
＜0，x1-x2 1-x1•x2
∴f(
)＞0，x1-x2 1-x1•x2
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
∴-f（
）=f(-1 5
)=f(1 5
) =f(3)+f(-2)=f(3)-f(2)，①3-2 1+3×(-2)
-f(
)=f(-1 11
)= =f(1 11
) =f(4)+f(-3)=f(4)-f(3)，②4-3 1+4×(-3)
…
-f(
)=f(-1 n2+3n+1
)=f(n+2)+f[-(n+1)]=f(n+2)-f(n+1) ③(n+2)-(n-1) 1+(n+2)•[-(n+1))]
将上式①②…③n个式子累加有
-[f(
)+f(1 5
)+f(1 11
)+…+f(1 19
)]1 n2+3n+1
=f(-
)+f(-1 5
)+f(-1 11
)+…+f(-1 19
)1 n2+3n+1
=f（n+2）-f（2）=f(
)，n 1-2(n+2)
又f（x）在（-1，1）上是减函数；
∴f(
)=f(-n 1-2(n+2)
)＜f(-n 2n+3)
) =-f(n 2n
)＜f(-1 2
) =-f(n 2n
)，1 2
∴f(
)+f(1 5
)+f(1 11
)+…+f(1 19
)＞f(1 n2+3n+1
)1 2