问题
解答题
| 已知数列{an}的前n项和为sn，点（n，sn）（n∈N*）在函数y=x2的图象上，数列{bn}满足bn=6bn-1+2n+1（n≥2，n∈N*），且b1=a1+3 （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明列数{
（3）设数列{cn}满足对任意的n∈N*，均有an+1=
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答案
（1）∵点（n，sn）在函数y=x2的图象上，
∴sn=n2（n∈N*）
当n=1时，a1=s1=12=1
当n≥2时，an=sn-sn-1=n2-（n-1）2=2n-1
a1=1也适合，
∴{an}的通项公式为an=2n-1（n∈N*）
（2）∵bn=6bn-1+2n+1（n≥2）
∴
+1=bn 2n
+1=36bn-1+2n+1 2n
+3=3(bn-1 2n-1
+1)(n≥2)bn-1 2n-1
∵b1=a1+3=4∴
+1=3b1 21
∴{
+1}其首项为3，公比为3的等比数列bn 2n
∴
+1=3.3n-1=3n∴bn=6n-2n(n∈N*)bn 2n
（3）由（2）得bn+2n=6n
由题意得n∈N*均有an+1=
+c1 b1+2
+c1 b2+22
++c3 b3+23 cn bn+2n
∴an=
+c1 b1+2
+c1 b2+22
++c3 b3+23
(n≥2)cn-1 bn-1+2n-1
∴an+1-an=
=2(n≥2)∴cn=2.6n(n≥2)(10分)又∵a2=cn bn+2n
=3∴c1=3(b1+2)=3•6=18c1 b1+2
∴cn=
(12分)18(n=1) 2•6n(n≥2)
∴c1+c2+c3+…+c2010=18+2（62+63+64+…+62010）=6+2（61+62+63+…+62010）
=6+2•
=6(62010-1) 6-1 2•62011+18 5
=
（62011+9）2 5