问题
解答题
设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．数列{an}满足a1=f（0），且 f(an+1)=
（Ⅰ） 求f（0）的值； （Ⅱ） 求数列{an}的通项公式； （Ⅲ） 是否存在正数k，使(1+
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答案
（Ⅰ）∵函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，
且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．
∴令x=-1，y=0，
得f（-1）=f（-1）•f（0），
得f（0）=1．（3分）
（Ⅱ）由f(an+1)=
，得f（an+1）•f（-2-an）=1，1 f(-2-an)
∴f（an+1-an-2）=f（0），
∴an+1-an-2=0，即an+1-an=2（n∈N*）．
∴{an}是等差数列，其首项为1，公差为d=2，
∴an=2n-1（8分）
（Ⅲ）存在正数k，使(1+
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
)≥k1 an
成立．2n+1
记F(n)=
，(1+
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
)1 an 2n+1
则
=F(n+1) F(n)
＞1，2(n+1) 4(n+1)2-1
∴F（n）单调递增，
∴F（1）为F（n）的最小值，
由F（n）≥k恒成立知k≤2 3
，3
∴k的最大值为2 3
．（14分）3