已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，a1=b1=1

问题解答题

已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是各项均为正数的等比数列，a₁=b₁=1且a₄+b₄=15，a₇+b₇=77．

（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

（2）设数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，求满足n•2ⁿ⁺¹-S_n＞90的最小正数n．

答案

（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则

1+3d+q3=15

1+6d+q6=77

解得q⁶-2q³-48=0，从而q=2，d=2，所以a_n=2n-1，b_n=2^n-1

（2）s_n=1×1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，则2s_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）•2ⁿ

两式相减得-S_n=2（1+2+2²+2^n-1）-1-（2n-1）×2ⁿ

所以S_n=n×2ⁿ⁺¹-3×2ⁿ+3

又满足n•2ⁿ⁺¹-S_n＞90，所以2ⁿ＞31

所以最小证整数为5．