问题 解答题

设函数y=f(x)定义在R上,且满足f(x)≠0,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.

(1)求证:对x∈R,都有f(x)>0;

(2)求证:f(x)在R上是减函数;

(3)设集合A={(x,y)|f(-x2+6x-1)•f(y)=1},B={(x,y)|y=a},且A∩B=∅,求实数a的取值范围.

答案

(1)证明:令m=n=0得f(0)=f2(0)

∴f(0)=0或f(0)=1

又∵f(x)≠0

∴f(0)=1

当x<0时,-x>0,

∴0<f(-x)<1

∴f(0)=f(x-x)=f(x)•f(-x)=1

f(x)=

1
f(-x)
>1

∴x<0时f(x)>1

∴对x∈R,都有f(x)>0

(2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2

则x1-x2<0,

∴f(x1-x2)>1

f(x1)
f(x2)
=f(x1)•f(-x2)=f(x1-x2)>1

又∵f(x1)>0,f(x2)>0

∴f(x1)>f(x2

∴f(x)在R上是减函数

(3)A={(x,y)|f(-x2+6x-1)•f(y)=1}

={(x,y)|f(-x2+6x-1+y)=f(0)}
={(x,y)|-x2+6x-1+y=0}
={(x,y)|y=x2-6x+1}

∵A∩B=∅

∴方程x2-6x+1-a=0无实数根

∴△=36-4(1-a)=32+4a<0

∴a<-8

单项选择题 A1/A2型题
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