问题
解答题
设函数y=f(x)定义在R上,且满足f(x)≠0,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:对x∈R,都有f(x)>0;
(2)求证:f(x)在R上是减函数;
(3)设集合A={(x,y)|f(-x2+6x-1)•f(y)=1},B={(x,y)|y=a},且A∩B=∅,求实数a的取值范围.
答案
(1)证明:令m=n=0得f(0)=f2(0)
∴f(0)=0或f(0)=1
又∵f(x)≠0
∴f(0)=1
当x<0时,-x>0,
∴0<f(-x)<1
∴f(0)=f(x-x)=f(x)•f(-x)=1
∴f(x)=
>11 f(-x)
∴x<0时f(x)>1
∴对x∈R,都有f(x)>0
(2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2
则x1-x2<0,
∴f(x1-x2)>1
则
=f(x1)•f(-x2)=f(x1-x2)>1f(x1) f(x2)
又∵f(x1)>0,f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)在R上是减函数
(3)A={(x,y)|f(-x2+6x-1)•f(y)=1}
={(x,y)|f(-x2+6x-1+y)=f(0)} ={(x,y)|-x2+6x-1+y=0} ={(x,y)|y=x2-6x+1}
∵A∩B=∅
∴方程x2-6x+1-a=0无实数根
∴△=36-4(1-a)=32+4a<0
∴a<-8