在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项Sn满足Sn2=an(Sn-12

问题解答题

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项S_n满足S_n²=a_n(Sn-

)．
（I）求a_n；
（II）设b_n=

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞

（m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

答案

（I）∵S_n²=a_n（S_n-

）（n≥2）

∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-

）

∴2S_nS_n-1=S_n-1-S_n

∴2=

Sn-1

…（2分）

又a₁=1，

∴数列{

}为首项为1，公差为2的等差数列．…（3分）

∴

=1+（n-1）•2=2n-1

∴S_n=

2n-1

．

∴a_n=

1，(n=1)

(2n-1)(2n-3)

，(n≥2)

…（5分）

（II）b_n=

2n+1

(2n+1)(2n-1)

(

2n-1

2n+1

）

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

[(1-

)+(

)+…+(

2n-3

2n-1

)+(

2n-1

2n+1

）]

(1-

2n+1

…（8分）

（III）令T（x）=

2x+1

，则T（x）在[1，+∞）上是增函数

∴当n=1时T_n=

2n+1

(n∈N*)取得最小值．T1=

…（10分）

由题意可知，要使得对任意n∈N^*，都有T_n＞

（m-8）成立，

只要T₁＞

（m-8）即可．

∴

＞

（m-8），解之得m＜

又∵m∈n，∴m=9．…（12分）