问题
解答题
| 定义域为R的函数y=f（x）满足： ①f(x+
②函数在[
（1）求m的值； （2）若f(
（3）设y=g（x）=2cos2x+sinx+m+2，若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应，求集合M． |
答案
（1）∵f(x+
)=-f(x)；∴f（x+π）=f（x），f（x）是以T=π的周期函数π 2
而函数在[
，π 12
]的值域为[m，2]，并且∀x1，x2∈[7π 12
，π 12
]，当x1＜x2时恒有f（x1）＜f（x2）．7π 12
∴函数f（x）在[
，π 12
]上单调递增，而f(x+7π 12
)=-f(x)，∴m=-2π 2
（2）∵f(
+x)=-f(π 3
-x)，∴f（x）的图象关于点（π 3
，0）对称π 3
∵f(
sinx+π 4
)＞0π 3
∴
+kπ＜π 3
sinx+π 4
＜π 3
+kπ，而5π 6
≤π 12
sinx+π 4
≤π 3 7π 12
则
＜π 3
sinx+π 4
≤π 3 7π 12
∴0＜sinx≤1即满足条件的x的集合为{x|2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z}
（3）∵y=g（x）=2cos2x+sinx
∴y=g（x）=-2sin2x+sinx+2
令sinx=t∈（0，1）则y=-2t2+t+2
若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t2+t+2-y=0在（0，1）上只有一解
∴h（1）•h（0）=（1-y）（2-y）＜0
解得1＜y＜2
∴集合M={y|1＜y＜2}．