设a＞0，定点F（a，0），直线l：x=-a交x轴于点H，点B是l上的动点

问题解答题

设a＞0，定点F（a，0），直线l：x=-a交x轴于点H，点B是l上的动点，过点B垂直于l的直线与线段BF的垂直平分线交于点M．
（I）求点M的轨迹C的方程；
（II）设直线BF与曲线C交于P，Q两点，证明：向量

、

与

的夹角相等．

答案

（I）连接MF，依题意有|MF|=|MB|，

所以动点M的轨迹是以F（a，0）为焦点，直线l：x=-a为准线的抛物线，

所以C的方程为y²=4ax．（5分）

（II）设P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），

依题意直线BF的斜率存在且不为0，设直线BF的方程为y=k（x-a）（k≠0），

将其与C的方程联立，消去y得k²x²-2a（k²+2）x+a²k²=0

故x₁x₂=a²．

记向量

与

的夹角为θ₁，

与

的夹角为θ₂，其中0＜θ₁，θ₂＜π，

因为

=(x1+a，y1)，

=(2a，0)，

所以cosθ1=

•

|HP|

•

|HF|

2ax1+2a2

(x1+a)2+

x1+a

+6ax1+a2

；

同理cosθ2=

x2+a

+6ax2+a2

+a2

x1+a

+6ax1+a2

因为cosθ₁=cosθ₂，且0＜θ₁，θ₂＜π，

所以θ₁=θ₂，即

、

与

的夹角相等．