问题
解答题
| 已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，且满足f（xy）=f（x）+f（y）． （1）证明：f(
（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围． |
答案
（1）∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴f(
)+f(y)=f(x y
×y)=f(x)x y
因此，满足 f(
)=f(x)-f(y)，x y
（2）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f（a）＞f（a-1）+2，⇔
⇔a-1＞0 a＞0 f[(a-1)•9]＜f(a) a＞1 (a-1)•9＜a
⇔1＜a＜
，9 8
故a的取值范围（1，
）9 8