问题
解答题
已知抛物线C：y2=2px（p＞0），其焦点是椭圆mx2+4y2=1的右焦点，且椭圆的离心率为
（Ⅰ）试求抛物线C的方程； （Ⅱ）在y轴上截距为2的直线l与抛物线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆过原点，求直线l的方程； （Ⅲ）若以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别交抛物线C上半支和y轴正半轴于A，B两点，直线AB与x轴交于点Q，试用A点的横坐标x0表示点Q的坐标． |
答案
（Ⅰ）∵椭圆mx2+4y2=1的离心率为
，2 2
∴
=
-1 m 1 4 1 m
，∴m=21 2
∴2x2+4y2=1的右焦点坐标为（
，0）1 2
∵抛物线C：y2=2px（p＞0），其焦点是椭圆mx2+4y2=1的右焦点，
∴抛物线C的方程为y2=2x；
（Ⅱ）由题意，设l的方程为y=kx+2，设M（x1，y1）、N（x2，y2），
直线方程代入抛物线方程可得k2x2+（4k-2）x+4=0，则x1+x2=-
，x1x2=4k-2 k2 4 k2
∴y1y2=8-8k-4 k
∵以线段MN为直径的圆过原点，∴
•OM
=0ON
∴x1x2+y1y2=0
∴
+8-4 k2
=08k-4 k
∴k=-1
∴l的方程为y=-x+2，即x+y-2=0；
（Ⅲ）设圆的方程为x2+y2=t，与抛物线方程联立，可得x2+2x-t=0
设A（x0，
），则t=x02+2x0，B（0，x02+2x0）2x0
∴直线AB的方程为y-（x02+2x0）=
（x-0）2
-(x02+2x0)x0 x0
令y=0，则x=
．x03+2x02 x02+2x0-2 x0
∴Q（
，0）x03+2x02 x02+2x0-2 x0
