问题 解答题

已知一个数列{an}的各项都是1或2.首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….记数列的前n项的和为Sn.参考:31×32=992,32×33=1056,44×45=1980,45×46=2070

(I)试问第10个1为该数列的第几项?

(II)求a2012和S2012

(III)是否存在正整数m,使得Sm=2012?如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由.

答案

(I)将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对,

即(1,2)为第1对,共1+1=2项;(1,2,2,2)为第2对,共1+3=4项;…;

(1,

2,2,2,…2)
共2k-1个2
为第k对,共1+(2k-1)=2k项;

故前k对共有项数为2+4+…+2k=k(k+1).

第10个1所在的项之前共有9对,所以10个1为该数列的

9×(9+1)+1=91(项).…(6分)

(II)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32,

故第2012项在第45对中的第32个数,从而a2012=2

又前2012项中共有45个1,其余2012-45=1967个数均为2,

于是S2012=45×1+1967×2=3979…(10分)

(III)∵前k对所在全部项的和为Sk×(k+1)=k+2[k(k+1)-k=2k2+k]

S31×32=S992=2×312+31=1953

S32×33=S1056=2×322+32=2080

即S993=1954且自第994项到第1056项均为2,而2012-1954=58能被2整除,

故存在m=993+29=1022,使S1022=2012.…(14分)

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