问题
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，且满足
f(0)=1，f’(x)=f(x)+ax-a．求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．
答案
参考答案：方程f’(x)=f(x)+ax-a可以改写为
f’(x)-f(x)=ax-a，
则f(x)=ex[∫e-x(ax-a)dx+C]
=ex(-axe-x+C)=Cex-ax．
由f(0)=1知C=1，所以f(x)=ex-ax．
Vx(a)=
=
将Vx(a)对a求导数，并令V’x(a)=
=0，得a=3．又由V"x(a)=
＞0知，当a=3时，Vx取最小值，即所求旋转体体积最小，此时
f(x)=ex-3x．
[注意] 求解一阶线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)，不少考生将通解公式
y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]
错记为
y=e∫P(x)dx[∫Q(x)e-∫P(x)dxdx+C]，
从而导致结果错误．
解析： 先求解一阶微分方程，求出f(x)，再求旋转体体积，最后求其最值．