平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3）、N（5，1）

问题解答题

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3）、N（5，1），若点C满足

+（1-t）

（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y²=4x交于A、B两点．
（Ⅰ）求证：

⊥

；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）由

+（1-t）

（t∈R），知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，

故点C的轨迹方程是：即y=x-4．

由得x²-12x+16=0．

∴x₁x₂=16，x₁+x₂=12

∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-16

∴x₁x₂+y₁y₂=0 故

⊥

．

（Ⅱ）由题意知：弦所在的直线的斜率不为零．故设弦所在的直线方程为：x=ky+m，

代入 y²=4x 得 y²-4ky-4m=0，∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．

若以弦DE为直径的圆都过原点，则OD⊥OE，∴x₁x₂+y₁y₂=0．

即

+y1y2=m²-4m，解得m=0 （不合题意，舍去）或 m=4．

∴存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．

设弦AB的中点为M（x，y）则x=（x₁+x₂），y=（ y₁+y₂），

x₁+x₂=ky₁+4+ky₂+4=k（y₁+y₂）+8=4k²+8，

∴弦AB的中点M的轨迹方程为：

消去k得：y²=2x-8．

∴圆心的轨迹方程为y²=2x-8．