已知点集L={(x，y)|y=m•n}，其中m=(2x-b，1)，n=(1，b+

问题解答题

已知点集L={(x，y)|y=

•

}，其中

=(2x-b，1)，

=(1，b+1)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若cn=

n•|P1Pn|

，(n≥2)，求

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)
（3）若f(n)=

an，n=2k-1

bn，n=2k

(k∈N*)，是否存在k∈N^*，使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）y=

•

=(2x-b，1)•(1，b+1)=2x+1

∴L={（x，y）|y=2x+1}，则P₁点的坐标是（0，1）

∴a₁=0

又∵等差数列{a_n}的公差为1，

∴a_n=n-1，（2分）

∴点列P_n（a_n，b_n）在L中，

∴b_n=2a_n+1=2n-1（4分）

（2）当n≥2时，点P_n（a_n，b_n）的坐标为（n-1，2n-1），

∴

P1Pn

=(n-1，2n-2)

P1Pn

(n-1) cn=

n•|

P1Pn

n(n-1)

n-1

，（6分）

所以

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)=

lim

n→∞

(1-

)=1（8分）

（3）假设存在满足条件的k，则

1°当k是偶数时，k+11为奇数，则f（k+11）=k+10，f（k）=2k-1，由f（k+10）=2f（k），得k=4；（10分）

2°当k为奇数时，k+11为偶数，则f（k+11）=2k+21，f（k）=k-1，由f（k+11）=2f（k），方程无解．

综上得到存在k=4符合题意．（12分）