已知椭圆x2a2+y2a2-1=1（a＞1）的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y

问题解答题

已知椭圆

a2-1

=1（a＞1）的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y2=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），点M在x轴上方，直线F₁M与抛物线C相切．
（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；
（2）设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，Q．△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

答案

（1）由椭圆方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1．

∴椭圆焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．

又抛物线C的焦点为(

，0)，∴

=1，解得p=2．∴抛物线C的方程：y²=4x．

∵点M（x₁，y₁）在抛物线C上，

∴

=4x1，直线F₁M的方程为y=

x1+1

(x+1)．

代入抛物线C得

(x+1)2=4x(x1+1)2，即4x1(x+1)2=4x(x1+1)2．

∴x1x2-(

+1)x+x1=0

∵F₁M与抛物线C相切，∴△=(

+1)2-4

=0，∴x₁=1．

∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．

（2）直线AB的斜率为定值-1．

证明如下：设A(

，y1)，B(

，y2)．

则kMA=

y1-2

-1

y1+2

，同理kMB=

y2+2

，

∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB．

即

y1+2

y2+2

=0，

化为y₁+y₂+4=0得y₁+y₂=-4．

∴k_AB=

y2-y1

y1+y2

-4

=-1．

所以直线AB的斜率为定值-1．