问题
填空题
已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（3m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3n+1）=9．
其中所有正确结论的序号是______．
答案
①∵对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．
∴f（3m）=f（3•3m-1）=3f（3m-1）=…=3m-1f（3）=0，正确；
②取x∈（3m，3m+1]，则
∈(1，3]；f(x 3m
)=3-x 3m
，f(x 3m
)=…=3mf(x 3
)=3m+1-x，x 3m
从而f（x）∈[0，+∞），正确；
③∵x∈（1，3]时，f（x）=3-x，对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3n+1）=3nf（1+
）=3n（3-（1+1 3n
））=3n（2-1 3n
）≠9，故③错误；1 3n
故答案为：①②．
