古汉集团生产的A，B两种型号的口服液供出口，国家为鼓励产品出口

问题解答题

古汉集团生产的A，B两种型号的口服液供出口，国家为鼓励产品出口，采用出口退税政策：出口价值为a万元的/1产品可获得

a万元的退税款，出口价值为b万元的B产品可获得mln（b+1）（m＞0）万元的退税款．已知厂家出口总价值为100万元的A、B两种口服液，且两种口服液的出口价值都不低于10万元．
（1）当m=

时，请你制定一个方案，使得在这次出口贸易中该企业获得的退税款最多，并求出其最大值；
（精确到0.1，参考数据：l_n2≈0.7）
（2）记该企业获得的退税款的最大值函数为，f（m），求f（m）的表达式．

答案

（1）设出口B产品价值x万元，则出口A产品价值为（100-x）万元，设该企业获得的退税款为y万元．

则y=mln（x+1）+

（100-x） 10≤x≤100，

当m=

时，y=

ln（x+1）+

（100-x）

由y'=

5(x+1)

得x=15

易知：当x∈（10，15）时函数递增，

当x∈（15，90）时，函数递减．

故当x=15时，y_max=

ln16+

×85≈13.0

（2）由y=mln（x+1）+

（100-x）

得y'=

x+1

令y′=0得x=10m-1，

①当0＜10m-1＜10时，即0.1＜m＜1.1

此时函数在（10，90）上单调递减，故f（m）=f（10）=9+mln11．

当10≤10m-1≤90时，即1.1≤m≤9.1

此时，函数在（10，10m-1）上递增，在（10m-1，90）上递减．

故f（m）=f（10m-1）=mln10m-m+10.1

当10m-1＞90时，即m＞9.1，

此时函数在（10，90）上递增，

故f（m）=f（90）=mln91+1

综上f（m）=

mln11+9 0＜m＜1.1

mln10m-m+10.1 1≤m≤9.1

mln91+1 m＞9.1

．