问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，（n=1，2，3，…）；数列{bn}中，b1=1 点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{an•bn}的前n和为Tn．
答案
（1）当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得a1=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2-（2an-1-2），
化为an=2an-1，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴an=2n．
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2上，∴bn-bn+1+2=0，
∴bn+1-bn=2，
∴数列{bn}是以b1=1为首项，2为公差的等差数列．
∴bn=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由（1）可得：anbn=（2n-1）•2n．
∴Tn=1×2+3×22+…+（2n-1）•2n，
2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1，
∴-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2×2n-（2n-1）•2n+1
=2×（2+22+…+2n）-2-（2n-1）•2n+1
=2×
-2-（2n-1）•2n+12(2n-1) 2-1
=2n+2-6-（2n-1）•2n+1
=（3-2n）•2n+1-6，
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．