问题
解答题
已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）+f（y）=2f(
（1）求f（0）的值； （2）判断f（x）的奇偶性并证明； （3）求证f（x）是周期函数，并求出f（x）的一个周期． |
答案
（1）∵任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=2f(
)f(x+y 2
)，令x=y=0，x-y 2
∴2f（0）=2f（0）•f（0），
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
（2）令y=-x，
可得f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
有f（-x）=f（x），
则f（x）为偶函数、
（3）∵f（2c+x）+f（x）=2f(
)•f(2c+2x 2
)，2c 2
∵f（c）=0，∴f（2c+x）+f（x）=0，
即f（2c+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（2c+x）=-[-f（2c+（2c+x））]=f（4c+x），
∴f（x）的周期为4c．