下列命题 ①设∫f(x)dx=F(x)+C，则对任意函数g(x)，有∫f[g(x)]dx=F[g(x)]+C ②设函数f(x)在某区间上连续、可导，且f’(x)≠0．又f-1(x)是其反函数，且∫f(x)dx=F(x)+C，则 ∫f-1(x)dx=xf-1(x)-F[f-1(x)]+C ③设∫f(x)dx=F(x)+C，x∈(-∞，+∞)，常数a≠0，则∫f(ax)dx=F(ax)+C． ④设∫f(x)dx=F(x)+C，x∈(-∞，+∞)，则 中正确的是
A．(A) ①、③．
B．(B) ①、④．
C．(C) ②、③．
D．(D) ②、④．
参考答案：D
解析：
[分析]： 这是一些函数恒等式，且左端均为不定积分，所以右端必须含一项任意常数项C，否则就不成立．余下就看右端的非常数项函数与左端的被积函数是否有相同的定义域以及右端函数的导数是否是左端的被积函数．
对于①：例如函数g(x)=2x，有
故①不正确．但当g(x)=x+b时，等式还是成立的，即
∫f(x+b)dx=F(x+b)+C．
对于②：应用分部积分法可得
∫f-1(x)dx=xf-1(x)-∫fx[f-1(x)]’dx．
记y=f-1(x)，则x=f(y)，dy=[f-1(x)]’dx，于是
∫x[f-1(x)]’dx=∫f(y)dy=F(y)+C，
∫f-1(x)dx=xf-1(x)-F[f-1(x)]+C．
故②正确．
对于③：因为F’(x)=f(x)，所以
[F(ax)]’=F’(ax)·a=af(ax)，
即 a∫f(ax)dx=F(ax)+C，
因此，a≠1时等式不成立．由此可知③不正确．
对于④：因为F’(x)=f(x)，所以
因此．故④正确．
综上分析，应选(D)．