问题
解答题
| 设数列{an}，{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1-an}（n∈N+）是等差数列，数列{bn-2}（n∈N+）是等比数列． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）是否存在k∈N+，使ak-bk∈(0，
|
答案
（1）由已知a2-a1=-2，a3-a2=-1
得公差d=-1-（-2）=1
所以an+1-an=（a2-a1）+（n-1）×1=n-3
故an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=6+（-2）+（-1）+0+…+（n-4）
=6+[(-2)+(n-4)](n-1) 2
=n2-7n+18 2
由已知b1-2=4，b2-2=2所以公比q=1 2
所以bn-2=(b1-2)(
)n-1=4×(1 2
)n-1．1 2
故bn=2+8×(
)n1 2
（2）设f（k）=ak-bk=(
k2-1 2
k+9)-[2+8×(7 2
)k]1 2
=
[(k-1 2
)2-7 2
]-8×(49 4
)k+71 2
所以当k≥4时，f（k）是增函数．
又f(4)=
，所以当k≥4时f(k)≥1 2
，1 2
而f（1）=f（2）=f（3）=0，所以不存在k，使f(k)∈(0，
)．1 2