问题
解答题
在数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1
（1）若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列{an}是首项为a1，公差为d等差数列（a1•d≠0），求数列{bn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断数列{bn}是否为等比数列？并说明理由．
答案
（1）因为a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=（n-1）•2n+1．
所以a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=（n-2）•2n-1+1．
两式相减anbn=（2n-2-n+2）•2n-1=n•2n-1
因为{bn}数列是首项为1，公比为2的等比数列，则bn=2n-1
所以an=n；
（2）数列{an}是首项为a1，公差为d等差数列（a1•d≠0），an=a1+（n-1）d，
由（1）可知anbn=n•2n-1，所以bn=
．n•2n-1 a1+(n-)d
数列{bn}的通项公式：bn=
．n•2n-1 a1+(n-)d
（3）{an}是等差数列 anbn=（2n-2-n+2）•2n-1=n•2n-1
所以 an=
，n•2n-1 bn
an-1=
，(n-1)•2n-2 bn-1
an-2=
，(n-2)•2n-3 bn-2
{an}是等差数列 2an-1=an-2+an
即2×
=(n-1)•2n-2 bn-1
+n•2n-1 bn
，即(n-2)•2n-3 bn-2
=4(n-1) bn-1
+4n bn n-2 bn-2
若{bn}是等比数列，则bn-12=bn-2•bn，上式不满足bn-12=bn-2•bn，所以不成立
所以数列{bn}不是等比数列．
