在数列{an},{bn}中,对任何正整数n都有:a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1
(1)若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列,求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{an}是首项为a1,公差为d等差数列(a1•d≠0),求数列{bn}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,判断数列{bn}是否为等比数列?并说明理由.
(1)因为a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1.
所以a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=(n-2)•2n-1+1.
两式相减anbn=(2n-2-n+2)•2n-1=n•2n-1
因为{bn}数列是首项为1,公比为2的等比数列,则bn=2n-1
所以an=n;
(2)数列{an}是首项为a1,公差为d等差数列(a1•d≠0),an=a1+(n-1)d,
由(1)可知anbn=n•2n-1,所以bn=
.n•2n-1 a1+(n-)d
数列{bn}的通项公式:bn=
.n•2n-1 a1+(n-)d
(3){an}是等差数列 anbn=(2n-2-n+2)•2n-1=n•2n-1
所以 an=
,n•2n-1 bn
an-1=
,(n-1)•2n-2 bn-1
an-2=
,(n-2)•2n-3 bn-2
{an}是等差数列 2an-1=an-2+an
即2×
=(n-1)•2n-2 bn-1
+n•2n-1 bn
,即(n-2)•2n-3 bn-2
=4(n-1) bn-1
+4n bn n-2 bn-2
若{bn}是等比数列,则bn-12=bn-2•bn,上式不满足bn-12=bn-2•bn,所以不成立
所以数列{bn}不是等比数列.