问题 解答题

在数列{an},{bn}中,对任何正整数n都有:a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1

(1)若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列,求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)若数列{an}是首项为a1,公差为d等差数列(a1•d≠0),求数列{bn}的通项公式;

(3)在(2)的条件下,判断数列{bn}是否为等比数列?并说明理由.

答案

(1)因为a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1.

所以a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=(n-2)•2n-1+1.

两式相减anbn=(2n-2-n+2)•2n-1=n•2n-1

因为{bn}数列是首项为1,公比为2的等比数列,则bn=2n-1

所以an=n;

(2)数列{an}是首项为a1,公差为d等差数列(a1•d≠0),an=a1+(n-1)d,

由(1)可知anbn=n•2n-1,所以bn=

n•2n-1
a1+(n-)d

数列{bn}的通项公式:bn=

n•2n-1
a1+(n-)d

(3){an}是等差数列 anbn=(2n-2-n+2)•2n-1=n•2n-1

所以 an=

n•2n-1
bn

an-1=

(n-1)•2n-2
bn-1

an-2=

(n-2)•2n-3
bn-2

{an}是等差数列 2an-1=an-2+an

(n-1)•2n-2
bn-1
=
n•2n-1
bn
+
(n-2)•2n-3
bn-2
,即
4(n-1)
bn-1
=
4n
bn
+
n-2
bn-2

若{bn}是等比数列,则bn-12=bn-2•bn,上式不满足bn-12=bn-2•bn,所以不成立

所以数列{bn}不是等比数列.

单项选择题
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