问题
单项选择题
已知向量组(Ⅰ)：α1，α2；(Ⅱ)：α1，α2，α3；(Ⅲ)：α1，α2，α4．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=2，r(Ⅲ)=3，则向量组α1，α2，α3-α4的秩为
(A) 1． (B) 2． (C) 3． (D) 不能确定．
答案
参考答案：C
解析： 因为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=2，所以向量组α1，α2线性无关，而向量组α1，α2，α3线性相关，于是α3必可由α1，α2线性表示：α3=l1α1+l2α2．
又α1，α2是向量组α1，α2，α3-α4的部分组，故可断定(A)小正确．只需判断α1，α2，α3-α4是否线性无关．
设有数k1，k2，k3，使得
k1α1+k2α2+k3(α3-α4)=0，
即 (k1+k3l1)α1+(k2+k3l2)α2-k3α4=0．
由r(Ⅲ)=3，可知α1，α3，α4线性无关，所以
解得k1=k2=k3=0．
故α1，α2，α3-α4线性无关，其秩为3．所以应选(C)．