问题
解答题
已知正项数列{an}中，a1=6，点An(an，
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（文理共答） （Ⅱ）若f（n）=
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式
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答案
（Ⅰ）将点An(an，
)代入抛物线y2=x+1，an+1
得an+1=an+1，
∴an+1-an=d=1，
∴an=a1+（n-1）•1=n+5，
∵过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，
点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上，
∴bn=2n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=
=an，(n为奇数) bn，(n为偶数)
，n+5，n为奇数 2n+1，n为偶数
当k为偶数时，k+27为奇数，
∴f（k+27）=4f（k），
∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．
当k为奇数时，k+27为偶数，
∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=
（舍去）35 2
综上所述，存在唯一的k=4符合条件．
（Ⅲ）由
-an+1 (1+
)(1+1 b1
)…(1+1 b2
)1 bn
≤0，an
+ann-2
即a≤
(1+1 2n+3
)(1+1 b1
)…(1+1 b2
)，1 bn
设f（n+1）=
(1+1 2n+5
)(1+1 b1
)…(1+1 b2
)(1+1 bn
)，1 bn+1
∴
=f(n+1) f(n)
•(1+2n+3 2n+5
)1 bn+1
=
•2n+3 2n+5 2n+4 2n+3
=2n+4
•2n+5 2n+3
=
＞1，4n2+16n+16 4n2+16n+15
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）递增，
∴f（n）min=f（1）=
•1 5
=4 3
，4 5 15
∴0＜a≤
．…（12分）4 5 15