问题
解答题
已知曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差是1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．证明：点F在直线BD上．
答案
（Ⅰ）根据题意知，C上每一点到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离．
所以，曲线C上每一点在开口向右的抛物线上，…2分
其中p=2，所以抛物线方程为y2=4x．
又因为曲线C在y轴的右边，所以，曲线C的方程为y2=4x（x＞0）．…2分
（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（x1，-y1），l的方程为x=my-1（m≠0）．
将x=my-1代入y2=4x，整理得y2-4my+4=0，
∴从而y1+y2=4m，y1y2=4．…2分
直线BD的方程为y-y2=
•(x-x2)，即y-y2=y2-(-y1) x2-x1
•(x-4 y2-y1
)，…2分y 22 4
令y=0，得x=
=1，所以点F（1，0）在直线BD上．…2分．y1y2 4