问题
选择题
设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-3f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2．则f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=（ ）
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答案
∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2，
∴当x=0时，f（0）=0，当x=1时，f（1）=1，
又∵f（x+2）=-3f（x），
∴当x=-2时，f（0）=-3f（-2），故f（-2）=0，
当x=-1时，f（1）=-3f（-1），故f（-1）=-
，1 3
以此类推，f（-4）=f（-6）=…=f（-2014）=0，
故f（0）+f（-2）+f（-4）+…+f（-2014）=0，
∵f（x+2）=-3f（x），
∴
=-f(x) f(x+2)
，1 3
故f（-1），f（-3），f（-5），…，f（-2013）构成以f（-1）为首项，-
为公比的等比数列，1 3
∴f（-1）+f（-3）+f（-5）+…+f（-2013）=
=--
×[1-(-1 3
)1007]1 3 1-(-
)1 3
(1+1 4
)，1 31007
∴f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=[f（0）+f（-2）+f（-4）+…+f（-2014）]+[f（-1）+f（-3）+f（-5）+…+f（-2013）]=0+-
(1+1 4
)=-1 31007
(1+1 4
)，1 31007
∴f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=-
(1+1 4
)．1 31007
故选：D．