问题 解答题

已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(4,2)为抛物线内一定点,点P为抛物线上一动点,|PA|+|PF|最小值为8.

(1)求该抛物线的方程;

(2)若直线x-y-3=0与抛物线交于B、C两点,求△BFC的面积.

答案

(1)设d为点P到x=-

p
2
的距离,则由抛物线定义,|PF|=d,

∴当点P为过点A且垂直于准线的直线与抛物线的交点时,|PA|+|PF|取得最小值,即4+

p
2
=8,解得p=8.

∴抛物线的方程为y2=16x.

(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),联立

x-y-3=0
y2=16x
得y2-16y-48=0,

显然△>0,y1+y2=16,y1y2=-48.

|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2
=
162+4×48
=8
7

|BC|=

2
|y1-y2|=8
14

又∵F(4,0)到直线l的距离为

|4-3|
2
=
2
2

S△BFC=

1
2
|BC|•d=
1
2
×8
14
×
2
2
=4
7

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