问题
解答题
已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(4,2)为抛物线内一定点,点P为抛物线上一动点,|PA|+|PF|最小值为8.
(1)求该抛物线的方程;
(2)若直线x-y-3=0与抛物线交于B、C两点,求△BFC的面积.
答案
(1)设d为点P到x=-
的距离,则由抛物线定义,|PF|=d,p 2
∴当点P为过点A且垂直于准线的直线与抛物线的交点时,|PA|+|PF|取得最小值,即4+
=8,解得p=8.p 2
∴抛物线的方程为y2=16x.
(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),联立
得y2-16y-48=0,x-y-3=0 y2=16x
显然△>0,y1+y2=16,y1y2=-48.
∴|y1-y2|=
=(y1+y2)2-4y1y2
=8162+4×48
,7
∴|BC|=
|y1-y2|=82
.14
又∵F(4,0)到直线l的距离为
=|4-3| 2
,2 2
∴S△BFC=
|BC|•d=1 2
×81 2
×14
=42 2
.7