问题
解答题
已知奇函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-
（1）求证：f（x）是R上的减函数． （2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值． （3）若f（x）+f（x-3）≤-2，求实数x的取值范围． |
答案
（1）证明：令x=y=0，则f（0）=0，令y=-x则f（-x）=-f（x），---2’
在R上任意取x1，x2，且x1＜x2，则△x=x2-x1＞0，△y=f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）------4分
∵x2＞x1，
∴x2-x1＞0，
又∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，有定义可知函数f（x）在R上为单调递减函数．--6分
（2）∵f（x）在R上是减函数，
∴f（x）在[-3，3]上也是减函数．
又f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-
）=-2，2 3
由f（-x）=-f（x）可得f（-3）=-f（3）=2，
故f（x）在[-3，3]上最大值为2，最小值为-2．------10分
（3）∵f（x）+f（x-3）≤-2，由（1）、（2）可得f（2x-3）≤f（3）
∴2x-3≥3，
∴x≥3，
故实数x的取值范围为[3，+∞）．------12分