（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=

问题解答题

（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（

x+y

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）试用α表示f（

），并在f（

）时求出α的值；
（2）试用α表示f（

），并求出α的值；
（3）n∈N时，a_n=

，求f（a_n），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式．
（文）已知向量

=(3，-4)，

=(6，-3)，

=（5-m，-3-m）
（1）若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件．
（2）若△ABC为直角三角形，求m的取值范围．

答案

（理）（1）f（

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，…．（1分）

又：f（

）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，

∴sinα=1-sinα

则sinα=

∵α∈(0，π)∴α=

或

5π

…．（3分）

（2）令x=

，y=0，f（

）=f（

）sinα=sin²α^{令x=0，y=
1
2
，f（1
4）=（1-sinα）f（1
2）=-sin²α+sinα
∴sinα=0或sinα=
1
2
∵α∈（0，π），∴α=
π
6
或5π
6
…．（10分）
（3）∵n∈N，a_n=
1
2n
，所以
f（a_n）=f（
1
2n
)=f(1
2n-1
+0
2
)=1
2
f(1
2n-1
)=1
2
f(an-1）（n∈N）…（11分）
因此f（a_n）是首项为f（a₁）=
1
2
，公比为1
2的等比数列    …（12分）
故f（a_n）=f（
1
2n
)=1
2n
…（13分）．
猜测f（x）=x…（14分）．
（文）（1）已知向量
OA
=(3，-4)，
OB
=(6，-3)，
OC
=（5-m，-3-m），
若点A、B、C不能构成三角形，则这三点共线．             …（1分）
∵
AB
=(3，1)，
AC
=（2-m，1-m）…（3分）
故知3（1-m）=2-m                                   …（4分）
∴实数m=
1
2
时，满足条件．…（5分）
（2）若△ABC为直角三角形，且
①∠A为直角，则
AB
⊥
AC
，∴3（2-m）+（1-m）=0，解得m=7
4…（7分）
②∠B为直角，
BC
=（-1-m，-m）则
AB
⊥
BC，∴3（-1-m）-m=0，解得m=-3
4…（10分）
③∠C为直角，则
BC
⊥
AC
，∴（2-m）（-1-m）+（1-m）（-m）=0，解得m=1±
5
2…（13分）
综上，m=
7
4
或m=-3
4或m=1±
5
2…（14分）}