问题
解答题
已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前 n项和，且满足
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和Tn； （3）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8-(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围． |
答案
（1）设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，
在an2=S2n-1中，令n=1，n=2，
得
，即a12=S1 a22=S3
，（4分）a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d
解得a1=1，d=2，
∴an=2n-1．
（2）bn=
=1 an•an+1
（1 2
-1 2n-1
），1 2n+1
∴Tn=
（1-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 5
-1 2n-1
）=1 2n+1
．n 2n+1
（3）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8-（-1）n恒成立，
即需不等式λ＜
=2n+(n+8)(2n+1) n
+17恒成立．8 n
∵2n+
≥8，当且仅当n=2时取“=”，8 n
∴λ＜25（8分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8-（-1）n恒成立，即需不等式
λ＜
=2n-(n-8)(2n+1) n
-15恒成立．8 n
∵2n-
随n增大而增大，8 n
∴n=1时，2n-
取得最小值-6．8 n
∴λ＜-21．（10分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．