问题
解答题
数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=
（1）求证：数列{
（2）设存在正数k，使（1+S1）（1+S2）..（1+Sn）≥k
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答案
（1）证明：∵n≥2时，an=Sn-Sn-1（1分）
∴Sn-Sn-1=
，∴（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2Sn2，2S 2n 2Sn-1
∴=Sn-1-Sn=2SnSn-1（3分）
∴
-1 Sn
=2（n≥2），（5分）1 Sn-1
数列{
}是以1 Sn
=1为首项，以2为公差的等差数列．（6分）1 S1
（2）由（1）知
=1+(n-1)×2=2n-1，1 Sn
∴Sn=
，∴Sn+1=1 2n-1
（7分）1 2n+1
设F（n）=
，(1+S1)(1+S2)…(1+Sn) 2n+1
则
=F(n+1) F(n) (1+Sn+1) 2n+1 2n+3
=2n+2 (2n+1)(2n+3)
=
＞1（10分）4n2+8n+4 4n2+8n+3
∴F（n）在n∈N*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]min≥k
∵[F（n）]min=F（1）=2 3
，∴0＜k≤3 2 3
，kmax=3 2 3
．（12分）3