问题
解答题
已知f(x)=
（1）求函数f（x）的单调区间； （2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有一个实数解，求实数a的取值范围； （3）已知数列{an}满足：0＜an≤3，n∈N*，且a1+a2+a3+…a2009=
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答案
（1）当x＞3时，f(x)=f(3)=
是常数，不是单调函数；3 5
当0≤x≤3时，f（x）=
，3+x 1+x2
令f'（x）＞0解得x∈（0，
-3）10
与f'（x）＜0解得x∈（
-3，3）10
∴f（x）的单调增区间是（0，
-3）10
f（x）的单调减区间是（
-3，3）10
（2）由（1）知，f(0)=3，f(x)max=f(
-3)=10
=1 2(
-3)10
，f(3)=
+310 2 3 5
则方程f（x）-a=0恰有一个实数解
表示直线y=a与函数f（x）的图象有且只有一个交点
则
＜a＜3，或a=3 5
+310 2
（3）a1=a2=…=a2009=
时f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2009）=60271 3
f（x）=
在x=3+x 1+x2
处的切线为y=1 3
(11-3x)3 10
则有f(x)=
≤3+x 1+x2
(11-3x)⇔(x-3)(x-3 10
)2≤0成立1 3
∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2009）≤6027
设g（x）=x-ln（x-p），g'（x）＞0解得x＞p+1
g'（x）＜0解得p＜x＜p+1，∴g（x）的最小值为p+1
只需p+1≥6027
∴p的最小值为6026