问题
解答题
| 设定义域为R+的函数f（x），对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时有f（x）＞0． ①求f（1）的值； ②判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明． ③若f（
|
答案
①令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
②f（x）在（0，+∞）上的是增函数，
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则
＞1，x1 x2
∴f（
）＞0，x1 x2
∴f(x1)-f(x2)=f(x2⋅
)-f(x2)=f(x2)+f(x1 x2
)-f(x2)=f(x1 x2
)＞0，x1 x2
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
③∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令y=
，则f（1）=f（x）+f（1 x
）=0，1 x
又f（
）=-1，1 a
∴f（a）=1，
由②知，f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
∴不等式f（1-x-2x2）≤1等价为f（1-x-2x2）≤f（a），
则1-x-2x2＞0，(1) 1-x-2x2≤a，(2)
由不等式（1）得-1＜x＜
，1 2
∵不等式（2）可化为：2x2+x+a-1≥0，
10当△=9-8a≤0，即a≥
时，不等式（2）恒成立，此时，所求解集为x∈(-1，9 8
)．1 2
20当△=9-8a＞0时，又∵a＞0，∴0＜a＜
．9 8
此时，不等式（2）的解为x≤
或x≥-1- 9-8a 4
．-1+ 9-8a 4
又∵0＜a＜
，9 8
∴0＜9-8a＜9，
∴-1＜
＜-1- 9-8a 4
＜-1+ 9-8a 4
．1 2
∴此时所求解集为：x∈(-1，
]∪[-1- 9-8a 4
，-1+ 9-8a 4
)．1 2
综上，当a≥
时，所求解集为x∈(-1，9 8
)1 2
当0＜a＜
时，所求解集为：x∈(-1，9 8
]∪[-1- 9-8a 4
，-1+ 9-8a 4
)．1 2