（本题满分（14分），第（1）小题（5分），第（2）小题（5分），第（3）小题4分））

（1）因为点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上

所以Sn=n2+2nn∈N*------------------------（1分）

当n=1时，a₁=S₁=1+2=3

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1（*）

令n=1，a₁=2+1=3，也满足（*）式-------------------（3分）

所以，数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+1．------------------------（4分）

（2）bn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)------------------------（6分）

∴Bn=

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

6n+9

---------------（8分）

（3）因为cn=t2n+1，所以

cn+1

cn

=t2，

则数列{c_n}成公比为等比数列t²的等比数列．

∵t＞0

当t=1时，T_n=n；t＞0，t≠1，Tn=

t3(1-t2n)

1-t2

；------------------------（10分）

当t=1时，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

n+1

n

=1

当t＞1时，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

=t2

当0＜t＜1时，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

=1．

∴

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

1，0＜t≤1 t2，t＞1

-------------（14分）