问题
解答题
设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：f（x）在R上是增函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+c）=1，c∈R}，若A∩B=φ，求c的取值范围．
答案
（1）证明：设x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）证明：∵对x1，x2∈R，x1＜x2，，有x2-x1＞0
∴f（x2）=f（x1+x2-x1）=f（x1）•f（x2-x1）中有f（x2-x1）＞1
由已知可，得当x1＞0时，f（x1）＞1＞0
当x1=0时，f（x1）=1＞0
当x1＜0时，f（x1）•f（-x1）=f（x1-x1）=f（0）=1
又∵f（-x1）＞1∴0＜f（x1）＜1
故对于一切x1∈R，有f（x1）＞0
∴f（x2）=f（x1）•f（x2-x1）＞f（x1），故命题得证．
（3）解由f（x2+y2）＜f（1），则由单调性知x2+y2＜1．
由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0，
若A∩B=φ，则只要圆x2+y2=1与直线x+y+c=0相离或相切即可，故
≥1．|c| 2
∴c≥
或c≤-2 2