已知等差数列{an}的首项a1=1，且公差d＞0，它的第2项、第5项、第

问题解答题

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，且公差d＞0，它的第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N^*均有

+…+

=an+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₁的值；
（3）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n；并求满足S_n＜168的最大正整数n．

答案

（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d

∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）

∵d＞0

∴d=2

∴a_n=1+2（n-1）=2n-1

∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，

故数列{b_n}的公比是3，

∴b_n=3•3^n-2=3^n-1

（2）由

+…+

=a_n+1

得当n≥2时，

+…+

cn-1

bn-1

=a_n

两式相减得

=a_n+1-a_n=2，

∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）

n=1时，c₁=3

∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₁=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹¹=3²⁰¹¹

（3）S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1 ①

∴3S_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）3ⁿ ①

①-②得：-2S_n=-1+2（1+3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）×3ⁿ

∴S_n=1+（n-1）3ⁿ

∵S_n是递增数列，且知S₃=55，S₄=244

∴满足S_n＜168的最大正整数n=3．