问题
解答题
在直角坐标平面内，y轴右侧的一动点P到点（
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程； （Ⅱ）设Q为曲线C上的一个动点，点B，C在y轴上，若△QBC为圆（x-1）2+y2=1的外切三角形，求△QBC面积的最小值． |
答案
（Ⅰ）由题知点P到F(
，0)的距离与它到直线x=-1 2
的距离相等，1 2
所以点P的轨迹是抛物线，方程为y2=2x…（4分）
（Ⅱ）设Q（x0，y0），B（0，b），C（0，c），则QB：y-b=
x即（y0-b）x-x0y+x0b=0y0-b x0
由直线QB是圆的切线知
=1，即(x0-2)b2+2y0b-x0=0|y0-b+x0b| (y0-b)2+x02
同理∵x0＞0，(x0-2)c2+2y0c-x0=0所以b，c是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的两根
∴b+c=-
，bc=-2y0 x0-2
…（8分）x0 x0-2
∴S△QBC=
|b-c|x0=1 2 1 2
•x0
+4y02 (x0-2)2 4x0 x0-2
又y02=2x0，∴S△QBC=x02 |x0-2|
由题知x0＞2，∴S△QBC=x02 x0-2
令t=x0-2，则S△QBC=
=t+(t+2)2 t
+4≥4+4=8，当t=2即x0=4时，取“=”4 t
∴△QBC面积的最小值为8…（12分）