问题
解答题
已知点F（a，0）（a＞0），直线l：x=-a，点E是l上的动点，过点E垂直于y轴的直线与线段EF的垂直平分线交于点P．
（1）求点P的轨迹M的方程；
（2）若曲线M上在x轴上方的一点A的横坐标为a，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线M的另一个交点分别为B、C，求证：直线BC的斜率为定值．
答案
（1）连接PF．∵点P在线段EF的垂直平分线上，
∴|PF|=|PE|．∴点P的轨迹是以F为焦点，以直线l为准线的抛物线．
∴p=2a．∴点P的轨迹为M：y2=4ax（a＞0）．
（2）直线AB的斜率为k（k≠0），点B（x1，y1），C（x2，y2），A（a，2a）．
则直线AB的方程为y-2a=k（x-a）.
消去x，得ky2-4ay+4a2（2-k）=0．y-2a=k(x-a) y2=4ax.
△=16a2（k-1）2≥0
∵y1，2a是方程的两个根，
∴2ay1=
．，∴y1=4a2(2-k) k
．2a(2-k) k
依题意，直线AC的斜率为-k．
同理可得y2=-
．2a(2+k) k
∴y1+y2=
+2a(2-k) k
=-4a．-2a(2+k) k
∴kBC=
=y2-y1 x2-x1
=y2-y1
-y 22 4a y 21 4a
=-14a y1+y2
所以直线BC的斜率为定值．