已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，数列{bn}中，b1=1，且

问题解答题

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3，数列{b_n}中，b₁=1，且点（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；

（Ⅲ）若c_n=a_n+3，求数列{b_nc_n}的前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3）

所以{a_n+3}是首项为a₁+3=4，公比为2的等比数列．

所以a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，故a_n=2ⁿ⁺¹-3

（Ⅱ）因为（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上，

所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1又b₁=1

故数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列，

所以b_n=n

（Ⅲ）c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹故b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹

所以S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹

故2S_n=1×2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²

相减得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=

4(2n-1)

2-1

-n•2n+2=(1-n)2n+2-4

所以S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4