问题 解答题

已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,数列{bn}中,b1=1,且点(bn+1,bn)在直线y=x-1上.

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式;

(Ⅲ)若cn=an+3,求数列{bncn}的前n项和Sn

答案

(Ⅰ)由an+1=2an+3得an+1+3=2(an+3)

所以{an+3}是首项为a1+3=4,公比为2的等比数列.

所以an+3=4×2n-1=2n+1,故an=2n+1-3

(Ⅱ)因为(bn+1,bn)在直线y=x-1上,

所以bn=bn+1-1即bn+1-bn=1又b1=1

故数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列,

所以bn=n

(Ⅲ)cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1故bncn=n•2n+1

所以Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1

故2Sn=1×23+2×24+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2

相减得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=

4(2n-1)
2-1
-n•2n+2=(1-n)2n+2-4

所以Sn=(n-1)•2n+2+4

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