参考答案：[解] 先判断方程的类型，然后再按照方程的类型采用相应的方法求解．
(Ⅰ) 这是可分离变量方程．分离变量得
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积分得[*]
整理即得通解xy²=C(x+2)，C为任意常数．
(Ⅱ) 方程可写为
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这是齐次方程．于是令[*](即y=ux)，方程变成关于u与x的可分离变量方程
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分离变量得[*]
积分得 ln|lnu|=lnx+C₁，即 lnu=Cx，解出得u=e^Cx．
因此原方程通解为 y=xe^Cx，C为任意常数．
(Ⅲ) 这是一阶线性方程，两边乘[*]得
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积分得[*]
即原方程的通解为
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其中C为任意常数．令x=0，由y(0)=1 可得 C=4．
因此，满足y(0)=1的特解为
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(Ⅳ) 方法1° 两边乘以y⁴后并改写成
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这是齐次方程．令[*]，原方程变成可分离变量的方程
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分离变量得[*]
积分得
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代入[*]，得通解[*]，其中C为[*]常数．
令x=1，y=1得C=0，于是得满足y(1)=1的特解y=x．
方法2° 易凑微分将方程改写成
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由微分法则得
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因此，通解为[*]，其中C为[*]常数．
同前得特解．
(Ⅴ) 由一阶线性方程通解的结构得该一阶线性非齐次方程的通解为
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由y(0)=1[*]C=-1．因此特解为[*]．
(Ⅵ) 由一阶线性方程解的叠加原理 [*]
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从而[*]是相应齐次方程[*]的非零特解．[*]是原非齐次方程的一个特解．因此原方程的通解是
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