参考答案：[证明] 由题设知f(x)在[a，c]上和[c，b]上分别满足罗尔定理的条件，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)，使f’(α)=f’(β)=0．
令g(x)=f’(x)，由题设及上面所得结果知g(x)是在[α，β]上可导但不恒等于常数的函数，且g(α)=g(β)=0．
若[*]γ∈(α，β)使g(γ)＞0，在[γ，β]上把拉格朗日定理用于g(x)可得：[*]ξ∈(γ，β)使
[*]
否则，必[*]使g(η)＜0，在[α，η]上把拉格朗日定理用于g(x)也可得：[*]使
[*]
综合即得，在(α，β)内即在(a，b)内至少存在一点ξ，使g’(ξ)=f"(ξ)＜0．

解析：

[分析]： 由题设知，可在[a，c]上和[c，b]上分别对f(x)用罗尔定理，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)使f’(α)=f’(β)=0，但f(x)在[α，β]上不恒等于常数，从而f’(x)≠0，这表明g(x)=f’(x)在[α，β]上可导，不恒等于常数且g(α)=g(β)=0．为证明本题的结论，只需证明在(α，β)内至少存在一点ξ，使g’(ξ)＜0即可．
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