问题
问答题
设f(x)在[0，1]上可导，且f(x)≥0，f’(x)＜0．求证：函数
满足
答案
参考答案：[证明] 由f’(x)＜0知f(x)在[0，1]上单调减少，故[*]x∈[0，1)有f(x)＞f(0)≥0，再由当x∈[0，1)时F’(x)=f(x)＞0可知函数F(x)是单调增加的，又由F"(x)=f’(x)＜0可知曲线y=F(x)在区间[0，1]上是凸弧，如图10-1．
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由凸弧的几何特性知[*]曲线y=F(x)在线段OE的上方，即AC=F(x)＞AB．在相似三角形ODE和OAb中有[*]=[*]，即而[*]，亦即AB=xF(1)．综合得
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又由定积分的几何意义知
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由凸弧的几何特性及F(x)单调增加可得
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最后把两个不等式连接起来即可．