参考答案：[证明一] 引入辅助函数[*]，则F(x)在[0，1]可导，且F(0)=0，
[*]
由f(0)=0，f’(x)＞0知f(x)＞f(0)=0(0＜x＜1)，于是f’(x)与函数[*]同号．注意G(0)=0，且
G’(x)=2f(x)-2f(x)f’(x)=2f(x)[1-f’(x)]＞0(0＜x＜1)．
由此可知G(x)在[0，1]单调增加，从而G(x)＞G(0)=0在(0，1]成立．这表明f’(x)＞0在(0，1)成立．至此已经证明了F(x)在[0，1]单调增加，故F(1)＞F(0)=0，即原不等式成立．
[证明二] 令[*]，由柯西中值定理即得存在ξ∈(0，1)使得
[*]
再令[*]，于是再用柯西中值定理可知存在η∈(0，ξ)使得
[*]

解析：[分析一] 为利用函数的单调性来证明本题，可引入辅助函数[*]于是本题结论与F(1)＞0等价．注意F(0)=0，因此只需证明F(x)在[0，1]单调增加．
[分析二] 由题设知当x∈(0，1]时f(x)＞0，从而
[*]
若引入辅助函数[*]，则F(0)=G(0)=0，从而进一步有
[*]
这提示用柯西中值定理证明本题．
[*]