已知等差数列{an}满足a3=5，且a5-2a2=3．又数列{bn}中，b1=3

问题解答题

已知等差数列{a_n}满足a₃=5，且a₅-2a₂=3．又数列{b_n}中，b₁=3且3b_n-b_n+1=0（n=1，2，3，…）．

（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

（II）若a_i=b_j，则称a_i（或b_j）是{a_n}，{b_n}的公共项．

①求出数列{a_n}，{b_n}的前4个公共项；

②从数列{a_n}的前100项中将数列{a_n}与{b_n}的公共项去掉后，求剩下所有项的和．

答案

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，则

∵a₃=5，且a₅-2a₂=3

∴a₁+2d=5，-a₁+2d=3

解得a₁=1，d=2，

∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；

∵3b_n-b_n+1=0，

∴

bn+1

=3，

∴数列{b_n}是以b₁=3为首项，公比为3的等比数列．

∴b_n=3×3^n-1=3ⁿ；

（II）①数列{a_n}，{b_n}的前4个公共项为3，9，27，81；

②∵a₁₀₀=199，81＜a₁₀₀＜243

∴数列{a_n}的前100项中包含4个公共项

∵S100=

100(1+199)

=10000

∴数列{a_n}的前100项中将数列{a_n}与{b_n}的公共项去掉后，剩下所有项的和为10000-3-9-27-81=9980．