问题 解答题

已知等差数列{an}满足a3=5,且a5-2a2=3.又数列{bn}中,b1=3且3bn-bn+1=0(n=1,2,3,…).

(I) 求数列{an},{bn}的通项公式;

(II)若ai=bj,则称ai(或bj)是{an},{bn}的公共项.

①求出数列{an},{bn}的前4个公共项;

②从数列{an}的前100项中将数列{an}与{bn}的公共项去掉后,求剩下所有项的和.

答案

(I)设等差数列{an}的公差为d,则

∵a3=5,且a5-2a2=3

∴a1+2d=5,-a1+2d=3

解得a1=1,d=2,

∴an=1+(n-1)×2=2n-1;

∵3bn-bn+1=0,

bn+1
bn
=3,

∴数列{bn}是以b1=3为首项,公比为3的等比数列.

∴bn=3×3n-1=3n

(II)①数列{an},{bn}的前4个公共项为3,9,27,81;

②∵a100=199,81<a100<243

∴数列{an}的前100项中包含4个公共项

S100=

100(1+199)
2
=10000

∴数列{an}的前100项中将数列{an}与{bn}的公共项去掉后,剩下所有项的和为10000-3-9-27-81=9980.

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