问题
解答题
已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数
（2）试判断f（x）的单调性，并求f（x）在[-3，3]上的最值
（3）解不等式：f（x2-x）-f（x）≥-6．
答案
（1）令x=y=0，则f（0）=0，
再令y=-x得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）设x1＜x2，则x2-x1＞0，由x＞0时，f（x）＜0知，f（x2-x1）＜0
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）为R上的递减函数，
∴当x∈[-3，3]时，
f（x）min=f（3）=f（1+2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6；
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）max=f（-3）=-f（3）=6；
（3）∵f（x2-x）-f（x）≥-6=f（3），
∴f（x2-x）≥f（3）+f（x）=f（3+x），又f（x）为R上的递减函数，
∴x2-x≤3+x，
解得：-1≤x≤3．
∴原不等式的解集为{x|-1≤x≤3}．